Die Bestimmung des Erdumfangs von Eratosthenes
Aus dem Vergleich der Winkelhöhen des Sonnenhöchststandes zwischen den Städten Alexandria und Syene und der Entfernung dieser Städte ergab sich ein Erdumfang von 41.750 km.
Das Sieb des Eratosthenes
In einem Interwall [ 2; N ] werden zunächst alle Zahlen als Primzahlen markiert. Dann werden im Intervall [ 4; N ] die Vielfachen von 2 gestrichen. Danach die Vielfachen aller noch als Primzahlen markierten Zahlen. Übrig bleiben die Primzahlen.
Die Eulersche Zahl e \approx 2,71828183
Definition: \displaystyle e = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{n!} oder \displaystyle e = \lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n
Gute Näherungsbrüche sind \displaystyle\frac{163}{60} und \displaystyle\frac{1957}{720}.
Die Fibonacci-Folge
Definition: f_0 = 0; f_1 = 1; f_n = f_{n-2} + f_{n-1} für n > 1
Daraus ergibt sich: 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233; 377; 610; 987
Die Folge beschreibt zahlreiche Wachstumsvorgänge in der Natur.
Der Quotient \displaystyle\frac{f_{n+1}}{f_n} nächert sich dem goldenen Schnitt \displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618034 an.
Der goldene Schnitt
Die Summe zweier Stecken a und b verhält sich zur längeren Strecke a wie a zu b : \displaystyle\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}
Mit der Substitution \displaystyle x = \frac{a}{b} erhält man die Gleichung \displaystyle 1 + \frac{1}{x} = x, die die positive Lösung \displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618034 hat.
Die Möndchen des Hippokrates
Die Summe der beiden Möndchen entspricht der Fläche des rechtwinkligen Dreiecks. Somit werden durch Kreise begrenzte Flächenstücke durch rationale Zahlen berechnet.
Die Kreiszahl \pi \approx 3,14159265
Die Kreiszahl gibt das Verhältnis des Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser an. Gute Näherungsbrüche sind \displaystyle\frac{22}{7} und \displaystyle\frac{355}{113}.
Der Satz des Pythagoras
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates. Wenn die Katheten mit a und b bezeichnet werden und die Hypothenuse c ist, dann lautet der Satz des Pythagoras: a^2 + b^2 = c^2
Der Satz des Thales
Liegt der Punkt C eines Dreiecks ABC auf dem Halbkreis über der Strecke \overline{AB}, dann hat das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel.